ЕГЭ Математика (Профильный уровень)

№1. Планиметрия

$$ S_{\Delta} = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2}ab\sin\gamma = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$
$$ S_{\Delta} = pr = \frac{abc}{4R} $$ (Связь радиусов)
$$ \frac{a}{\sin A} = 2R $$ (Теорема синусов)
$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C $$ (Теорема косинусов)
a c b d

Свойство описанного четырехугольника

$$ {\color{red} a} + {\color{red} c} = {\color{blue} b} + {\color{blue} d} $$

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Важно: Это работает и в обратную сторону. Если суммы равны — окружность можно вписать.
a b c

Теорема Пифагора

$$ {\color{green} a}^2 + {\color{green} b}^2 = {\color{red} c}^2 $$

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пифагоровы тройки (часто встречаются):
3, 4, 5 (Египетский)
5, 12, 13
8, 15, 17

№2. Векторы

A(x₁; y₁) B(x₂; y₂) x₂ - x₁ y₂ - y₁
Координаты вектора:
\( \vec{AB} = \{ x_2 - x_1; \ y_2 - y_1 \} \)
Длина (Модуль):
\( |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} \)
Середина отрезка:
\( x_C = \frac{x_1 + x_2}{2}; \quad y_C = \frac{y_1 + y_2}{2} \)
Правило Треугольника
a b a + b

"Из конца первого — начало второго"

Правило Параллелограмма
a b a + b

"Из одной точки"

В координатах: \( \vec{a} + \vec{b} = \{ x_1+x_2; \ y_1+y_2 \} \)
$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 $$
$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha $$
$$ \cos \alpha = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}} $$
> 0
Острый угол
= 0
Перпендикулярны
< 0
Тупой угол

№3. Стереометрия

Призма/Цилиндр: \( V = S_{\text{осн}} \cdot h \)
Пирамида/Конус: \( V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h \)
Шар: \( V = \frac{4}{3}\pi R^3, \quad S_{\text{пов}} = 4\pi R^2 \)
⚡️ Полезные соотношения:
  • Цилиндр и Конус: Если у них одинаковое основание и высота, то объем конуса ровно в 3 раза меньше объема цилиндра (\( V_{\text{кон}} = \frac{1}{3} V_{\text{цил}} \)). То же самое для призмы и пирамиды.
    • h r h r l R
  • Описанный цилиндр и шар: Объем шара составляет \( \frac{2}{3} \) от объема описанного вокруг него цилиндра.
  • Закон подобия (Переливание воды): Если высоту (или любой линейный размер) изменить в \( k \) раз, то:
    • Площадь изменится в \( k^2 \) раз.
    • Объем изменится в \( k^3 \) раз.
    Пример: Воду налили до середины высоты (\( k=1/2 \)). Объем воды = \( (1/2)^3 = 1/8 \) от полного объема.

№4-5. Теория вероятностей

$$ P(A) = \frac{m}{n} = \frac{\text{Благоприятные исходы}}{\text{Все возможные исходы}} $$
Типичные задачи:
  • Жребий/Монеты: "Орел/Решка". Всего вариантов \( 2^n \), где \( n \) — число бросков.
  • Кубики: "Сумма очков равна 6". Выписываем пары: (1,5), (2,4), (3,3)...
  • Дежурства/Стулья: "Какова вероятность, что А и Б окажутся рядом?".
    Метод: Сажаем А на любой стул. Для Б осталось 1 место рядом (или 2), а всего свободных мест \( n-1 \).
Лайфхак "Круглый стол":
Если \( N \) человек садятся за круглый стол, и нужно найти вероятность, что двое сидят рядом: $$ P = \frac{2}{N-1} $$
Ситуация Ключевые слова Формула / Действие
Несовместные
(Не могут произойти одновременно)		 "ИЛИ то, ИЛИ другое"
"В первый день ИЛИ во второй"		 Сложение:
\( P(A+B) = P(A) + P(B) \)
Независимые
(Одно не влияет на другое)		 "И то, И другое"
"Два выстрела", "Две лампочки"		 Умножение:
\( P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B) \)
Совместные
(Могут случиться вместе)		 "Поступит хотя бы в один вуз"
"Кофе закончится в одном автомате"		 Формула включений:
\( P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) \)
Обратная вер-ть
(Событие "Хотя бы один")		 "Хотя бы один раз попадет"
"Хотя бы одна лампа перегорит"		 Через единицу:
\( P = 1 - P(\text{ни разу}) \)

Как узнать тип задачи по тексту?

🔫 Стрелок / Биатлонист / Тесты

"Стреляет до первого попадания" или "Нужно решить больше 8 задач".

Это умножение вероятностей (цепочка событий). Рисуйте дерево: Попал (0.8) \(\to\) Конец. Промах (0.2) \(\to\) Снова стреляет.

☕ Кофейные автоматы

"Вероятность, что кофе закончится в первом — 0.3, во втором — 0.3, в обоих — 0.12".

Это совместные события (зависимые).
Используем формулу: \( P(A+B) = 0.3 + 0.3 - 0.12 = 0.48 \).
Если просят "останется в обоих": \( 1 - 0.48 = 0.52 \).

🏭 Заводы / Агрофирмы

"40% тарелок с 1 завода, 60% со второго. У 1-го брак 5%, у 2-го 3%".

Метод дерева:
1. Находим полную вероятность брака: \( 0.4 \cdot 0.05 + 0.6 \cdot 0.03 \).
2. Если условие "известно, что тарелка бракованная": Делим (Вероятность конкретного пути) на (Полную вероятность).

№6. Уравнения

Показательные: \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \Rightarrow f(x) = g(x) \)
Логарифмические: \( \log_a f(x) = b \Rightarrow f(x) = a^b \) (Проверять ОДЗ: \( f(x)>0 \))
Иррациональные: \( \sqrt{f(x)} = g(x) \Rightarrow f(x) = g^2(x) \) при условии \( g(x) \ge 0 \)

№7. Выражения (Степени и Логарифмы)

$$ a^x \cdot a^y = a^{x+y}, \quad (a^x)^y = a^{xy} $$
$$ \log_a b^n = n \log_a b, \quad \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b $$
$$ a^{\log_a b} = b $$
$$ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $$

№8. Производная: Графический анализ

Ключевое правило: Знак производной определяет поведение функции.

y = f(x) возрастает f'(x) > 0 x

Если функция идет вверх ↗, производная положительна (+).

max Точки экстремума f'(x) = 0

В точках горбов и впадин касательная горизонтальна, производная равна 0.

1. Шпаргалка: Куда смотреть?

Самое главное — определить, график чего дан в условии.

Вопрос задачи ДАН График функции \( y = f(x) \) ДАН График производной \( y = f'(x) \)
Где функция растет? Смотрим, где линия идет вверх ↗ Смотрим, где график ВЫШЕ оси X (+)
Где функция убывает? Смотрим, где линия идет вниз ↘ Смотрим, где график НИЖЕ оси X (-)
Точки экстремума (max/min) Это горбы (max) и впадины (min) Это точки пересечения с осью X (где знак меняется)
f'(x) + - + max min

Пример для графика производной: Функция растет там, где график выше оси (зеленый плюс).

2. Касательная к графику

Уравнение касательной: $$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) = kx + b $$
Геометрический смысл: $$ f'(x_0) = k = \text{tg}\alpha $$
Δx = 4 кл Δy = 2 кл

Как найти производную по рисунку касательной?

  1. Найдите на прямой две "узловые" точки (пересечения клеток), например А и В.
  2. Достройте прямоугольный треугольник.
  3. Посчитайте катеты \( \Delta y \) (вертикальный) и \( \Delta x \) (горизонтальный).
  4. $$ f'(x_0) = \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
  5. Важно: Если прямая идет вниз ↘, поставьте перед дробью минус!

№9. Вычисления по формулам

Задача на подстановку чисел в физическую формулу. Главные правила:

  • Внимательно смотрите на единицы измерения (км/ч или м/с?).
  • Если неравенство (напр. "не менее 50"), решайте как уравнение, потом думайте над знаком.
  • Помните про синусы/косинусы стандартных углов.

№10. Текстовые задачи

Движение: \( S = v \cdot t \)
Работа: \( A = P \cdot t \) (или \( 1 = (1/t_1 + 1/t_2) \cdot t_{\text{общ}} \))
Смеси: \( m_{\text{в-ва}} = c \cdot m_{\text{р-ра}} \) (Масса вещества = Концентрация * Общая масса)
Прогрессии: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} n \) (Арифметическая)
Движение по кругу: Если один догоняет другого, то за время \( t \) он проходит расстояние на 1 круг больше (\( S_2 - S_1 = L_{\text{круга}} \)).
Средняя скорость: \( v_{\text{ср}} = \frac{S_{\text{весь}}}{t_{\text{все}}} \), а НЕ среднее арифметическое скоростей!

№11. Чтение графиков

Прямая: \( y = kx + b \). \(k\) — тангенс угла наклона, \(b\) — точка пересечения с осью Y.
Парабола: \( x_{\text{верш}} = \frac{-b}{2a} \). Если \( a>0 \), ветви вверх.
Гипербола: \( y = \frac{k}{x+a} + b \). Асимптоты: вертикальная \( x=-a \), горизонтальная \( y=b \).
Линейная функция
y = kx + b Δy Δx b
  • b — точка пересечения с OY.
  • k = \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \) (тангенс угла).
    Если \( \nearrow \), то \( k>0 \). Если \( \searrow \), то \( k<0 \).
Парабола
y = ax² + bx + c c
  • a > 0: Ветви вверх \( \cup \).
  • a < 0: Ветви вниз \( \cap \).
  • c — пересечение с OY (при \( x=0 \)).
  • \( x_0 = \frac{-b}{2a} \) (Вершина)
Гипербола
y = k/(x-a) + b
Асимптоты (Пунктир):
x = a: Вертикальная (сдвиг вправо/влево).
y = b: Горизонтальная (сдвиг вверх/вниз).
График к ним прижимается, но не касается.
Общее правило сдвигов:
\( y = f(x - a) + b \)
— \( -a \) внутри скобки сдвигает график ВПРАВО.
— \( +b \) снаружи сдвигает график ВВЕРХ.

№12. Исследование функции

\( (uv)' = u'v + uv' \) (Произведение)
\( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \) (Частное)
\( (e^x)' = e^x, \quad (\ln x)' = 1/x \)

Алгоритм решения (Универсальный)

Важно различать вопросы:
  • Найдите точку максимума/минимума — в ответ пишем X.
  • Найдите наибольшее/наименьшее значение — в ответ пишем Y (подставляем найденный X в исходную функцию).
  1. Найти производную \( f'(x) \)
    Используйте таблицу производных и правила дифференцирования (произведение, частное, сложная функция).
  2. Приравнять производную к нулю: \( f'(x) = 0 \)
    Решите полученное уравнение. Найденные корни — это "подозрительные" точки (кандидаты на экстремум).
    Внимание: Если уравнение дробное, не забудьте, что знаменатель не равен 0, но точки разрыва тоже могут влиять на смену знака.
  3. Проверка знаков на числовой прямой
    Отметьте найденные точки на оси X. Определите знак производной \( f'(x) \) на каждом интервале (подставьте пробное число в производную).
    + (растет) \(\rightarrow\) max \(\rightarrow\) - (убывает)
    - (убывает) \(\rightarrow\) min \(\rightarrow\) + (растет)
  4. Отбор корней (если дан отрезок \([a; b]\))
    • Если спрашивают точку экстремума: выбираем ту, что попала в отрезок и удовлетворяет условию (max или min).
    • Если спрашивают значение функции:
      1. Вычисляем \( y \) в точках экстремума, попавших в отрезок.
      2. Вычисляем \( y \) на концах отрезка (\( f(a) \) и \( f(b) \)).
      3. Сравниваем и выбираем самое большое/маленькое.
🔥 Важно:

Если в функции есть "неудобные" части, например \( \ln(x) \), \( e^x \), \( \sqrt{x} \) или \( \pi \), и нужно записать ответ в бланк (целое число или конечная дробь):
Подбирайте такой \( x \), чтобы "плохая" часть исчезла или стала хорошим числом.
Пример 1: \( y = \ln(x - 5) + \dots \) \(\rightarrow\) пробуем \( x - 5 = 1 \Rightarrow x = 6 \) (т.к. \( \ln 1 = 0 \)).
Пример 2: \( y = (x^2 - \dots)e^{x-2} \) \(\rightarrow\) пробуем \( x = 2 \) (т.к. \( e^0 = 1 \)).
В 90% случаев эта точка и будет точкой экстремума.

Лайфхак для №12: Если просят найти значение функции (Y) и в формуле есть \( e^x, \ln x, \pi \), то ответ должен быть целым. Часто это возможно, только если показатель степени равен 0 или аргумент логарифма равен 1. Попробуйте подставить такой X (например, \( x=0 \) для \( e^{2x} \)).

№13. Тригонометрия (Часть 2)

$$ \sin 2x = 2\sin x \cos x $$
$$ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 $$
$$ \sin x = a \Rightarrow x = (-1)^k \arcsin a + \pi k $$
$$ \cos x = a \Rightarrow x = \pm \arccos a + 2\pi k $$

№16. Финансы

Аннуитет: Долг уменьшается по закону геометрической прогрессии. Платеж \( X \) постоянный.
Формула долга: \( S_{new} = S_{old} \cdot k - X \), где \( k = 1 + r/100 \).
Дифференцированный: Долг уменьшается равномерно на \( S/n \).
Переплата = Сумма процентов на остаток долга.

№18. Параметры

Используйте графический метод в координатах \( (x, a) \) или \( (x, y) \).

Окружность: \( (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2 \)
Ромб: \( |x| + |y| = a \)
"Пучок" прямых: \( y = a(x - x_0) + y_0 \) (все проходят через \( (x_0; y_0) \))